Тип 4 № 51 Арифметическая прогрессия 5, 8, 11... и геометрическая прогрессия 4, 8, 16... имеют по 50 членов. Сколько одинаковых членов в обеих прогрессиях?

Арифметическая прогрессия: $$a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 2$$, где $$n$$ меняется от 1 до 50.
Геометрическая прогрессия: $$b_m = 4 \cdot 2^{m-1} = 2^{m+1}$$, где $$m$$ меняется от 1 до 50.

Нужно найти, сколько раз $$3n+2 = 2^{m+1}$$ при $$1 \le n \le 50$$ и $$1 \le m \le 50$$.

$$3n + 2 = 2^{m+1}$$
$$3n = 2^{m+1} - 2$$
$$3n = 2(2^m - 1)$$

Так как левая часть делится на 3, то и правая часть должна делиться на 3. Так как 2 не делится на 3, то $$(2^m - 1)$$ должно делиться на 3.

Рассмотрим значения $$2^m mod 3$$: $$2^1 mod 3 = 2$$, $$2^2 mod 3 = 1$$, $$2^3 mod 3 = 2$$, $$2^4 mod 3 = 1$$. Заметим, что $$2^m mod 3 = 1$$ когда $$m$$ четное.

Значит, $$m$$ должно быть четным. Пусть $$m = 2k$$. Тогда $$b_m = 2^{2k+1}$$.

Подставим $$m = 2k$$ в $$3n+2 = 2^{m+1}$$:
$$3n+2 = 2^{2k+1}$$
$$3n = 2^{2k+1} - 2$$
$$n = \frac{2^{2k+1} - 2}{3}$$

Теперь рассмотрим возможные значения $$k$$: от 1 до 25 (так как $$1 \le m \le 50$$).

$$k=1: m=2, b_2 = 8, n = (2^3-2)/3 = 6/3 = 2, a_2 = 5 + 3 = 8$$ (Подходит)
$$k=2: m=4, b_4 = 32, n = (2^5-2)/3 = 30/3 = 10, a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 32$$ (Подходит)
$$k=3: m=6, b_6 = 128, n = (2^7-2)/3 = 126/3 = 42, a_{42} = 5 + 41 \cdot 3 = 128$$ (Подходит)
$$k=4: m=8, b_8 = 512, n = (2^9-2)/3 = 510/3 = 170$$. Но $$n \le 50$$, поэтому не подходит.

Таким образом, всего 3 одинаковых члена в обеих прогрессиях.