18. Тип 18 № 3839 Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 6.

Поскольку AM и DM - биссектрисы углов A и D, то углы $$\angle BAM = \angle MAD$$ и $$\angle ADM = \angle MDC$$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180 градусов. Следовательно, $$\angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ}$$. Тогда $$\frac{1}{2} \angle BAD + \frac{1}{2} \angle ADC = 90^{\circ}$$, то есть $$\angle MAD + \angle ADM = 90^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle AMD = 180^{\circ} - (\angle MAD + \angle ADM) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$$. Значит, треугольник AMD - прямоугольный. Рассмотрим треугольник ABM. $$\angle BAM = \angle MAD$$. Так как AD || BC, то $$\angle MAD = \angle BMA$$ как накрест лежащие углы. Следовательно, $$\angle BAM = \angle BMA$$. Это означает, что треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 6. Аналогично, рассмотрим треугольник CDM. $$\angle ADM = \angle MDC$$. Так как AD || BC, то $$\angle ADM = \angle CMD$$ как накрест лежащие углы. Следовательно, $$\angle MDC = \angle CMD$$. Это означает, что треугольник CDM - равнобедренный, и CD = CM. Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD, следовательно, CD = 6. Тогда CM = 6. BC = BM + MC = 6 + 6 = 12. Периметр параллелограмма ABCD равен $$P = 2(AB + BC) = 2(6 + 12) = 2(18) = 36$$. Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен 36.