1. Тип 9 № 7369 Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 3, AD = 7, AC = 20. Найдите AO.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями BC и AD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Так как BC и AD основания трапеции, то они параллельны. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (угол BOC = углу AOD как вертикальные, угол OBC = углу ODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC}\] Пусть AO = x, тогда OC = AC - AO = 20 - x. Подставим известные значения в пропорцию: \[\frac{x}{20-x} = \frac{7}{3}\] Решим уравнение: \[3x = 7(20-x)\] \[3x = 140 - 7x\] \[10x = 140\] \[x = 14\] Следовательно, AO = 14. Ответ: 14