15. Тип 15 № 4167 Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 420 м². Первый каменщик в день укладывает на 7 м² плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу на 5 дней быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый ка- менщик? Запишите решение и ответ.

Пусть:

• x - количество квадратных метров плитки, которое укладывает первый каменщик в день.
• y - количество квадратных метров плитки, которое укладывает второй каменщик в день.
• t - время (в днях), которое требуется первому каменщику для выполнения всей работы.

Тогда:

• Площадь, которую укладывает первый каменщик: \[x \cdot t = 420\]
• Площадь, которую укладывает второй каменщик: \[y \cdot (t + 5) = 420\]
• Разница в производительности: \[x = y + 7\]

Из первого уравнения выражаем t: \[t = \frac{420}{x}\] Из третьего уравнения выражаем y: \[y = x - 7\] Подставляем t и y во второе уравнение:\[(x - 7) \cdot (\frac{420}{x} + 5) = 420\] Раскрываем скобки и упрощаем:\[420 + 5x - \frac{2940}{x} - 35 = 420\]\[5x - \frac{2940}{x} - 35 = 0\] Умножаем на x:\[5x^2 - 35x - 2940 = 0\] Делим на 5:\[x^2 - 7x - 588 = 0\] Решаем квадратное уравнение:\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-588) = 49 + 2352 = 2401\]\[x = \frac{7 + \sqrt{2401}}{2} = \frac{7 + 49}{2} = \frac{56}{2} = 28\] Так как производительность не может быть отрицательной, то x = 28. Находим производительность первого каменщика:\[x = 28 + 7 = 35\]