10 Тип 10 № 580. Найдите $$5 \sin \alpha$$, если $$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$ и $$\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$$.

Для решения этой задачи нам нужно найти значение $$5\sin\alpha$$, зная значение $$\cos\alpha$$ и интервал, в котором находится $$\alpha$$.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$.
2. Выразим $$\sin^2\alpha$$ через $$\cos^2\alpha$$: $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$.
3. Подставим значение $$\cos\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$:

$$\sin^2\alpha = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$$.

4. Найдем $$\sin\alpha$$: $$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{25}} = \pm\frac{1}{5}$$.

5. Определим знак $$\sin\alpha$$. Учитывая, что $$\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$$, $$\alpha$$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Следовательно, $$\sin\alpha = -\frac{1}{5}$$.

6. Найдем значение $$5\sin\alpha$$: $$5 \cdot (-\frac{1}{5}) = -1$$.

Ответ: **-1**