Тип 9 № 624109 Небольшой мячик бросают под острым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $$H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos{2\alpha})$$, где $$v_0 = 16$$ м/с - начальная скорость мячика, а $$g$$ - ускорение свободного падения (считайте, что $$g = 10$$ м/с²). При каком наименьшем значении угла α (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 8,6 м на расстоянии 1 м?

Для решения задачи нам нужно найти наименьший угол α, при котором мячик пролетит над стеной высотой 8.6 м. Дана формула максимальной высоты полета мячика: $$H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos{2\alpha})$$. Из условия известно, что H = 8.6 м, v₀ = 16 м/с и g = 10 м/с². Подставим эти значения в формулу и решим уравнение относительно cos(2α): $$8.6 = \frac{16^2}{4 \cdot 10}(1 - \cos{2\alpha})$$ $$8.6 = \frac{256}{40}(1 - \cos{2\alpha})$$ $$8.6 = 6.4(1 - \cos{2\alpha})$$ Разделим обе части уравнения на 6.4: $$\frac{8.6}{6.4} = 1 - \cos{2\alpha}$$ $$1.34375 = 1 - \cos{2\alpha}$$ Теперь выразим cos(2α): $$\cos{2\alpha} = 1 - 1.34375$$ $$\cos{2\alpha} = -0.34375$$ Найдем угол 2α, используя арккосинус: $$2\alpha = \arccos(-0.34375)$$ $$2\alpha \approx 1.92 radians$$ Теперь найдем угол α: $$\alpha = \frac{1.92}{2}$$ $$\alpha \approx 0.96 radians$$ Переведем радианы в градусы: $$\alpha \approx 0.96 \cdot \frac{180}{\pi}$$ $$\alpha \approx 55°$$ Так как нам нужен наименьший угол, рассмотрим также случай, когда косинус имеет такое же значение в другой четверти. Функция arccos выдает значения от 0 до π. Так как косинус отрицательный, то угол находится во второй четверти. Угол в четвертой четверти, имеющий такой же косинус, равен $$-1.92$$ радиан, но поскольку нам нужен положительный угол, прибавим $$2\pi$$: $$-1.92 + 2\pi \approx 4.36$$ радиан. Тогда $$2\alpha = 4.36$$ радиан и $$\alpha = 2.18$$ радиан. Переведем в градусы: $$\alpha = 2.18 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 125°$$. Однако, в условии задачи сказано, что угол острый, поэтому этот вариант не подходит. Также стоит учитывать, что формула для высоты предполагает, что мячик *достигнет* этой высоты. В данном случае стена находится на некотором расстоянии, поэтому нужно рассматривать траекторию полета мячика более детально, но, исходя из имеющейся информации и формулы, угол будет примерно 55 градусов. Ответ: 55