10. Тип 10 № 7469 Основания трапеции равны 7 и 63, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{4\sqrt{3}}{7}$$. Найдите площадь трапеции.

Для решения этой задачи нам нужно найти высоту трапеции и затем использовать формулу для площади трапеции. 1. Обозначения: - $$a$$ и $$b$$ - основания трапеции ($$a = 7$$, $$b = 63$$) - $$c$$ - боковая сторона ($$c = 18$$) - $$\alpha$$ - угол между боковой стороной и основанием - $$h$$ - высота трапеции 2. Находим высоту $$h$$: Используем косинус угла $$\alpha$$: $$\cos(\alpha) = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$ Высота $$h$$ связана с боковой стороной $$c$$ и углом $$\alpha$$ следующим образом: $$h = c \sin(\alpha)$$ Найдем $$\sin(\alpha)$$: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$ $$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 3}{49} = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$$ $$\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}$$ Теперь находим высоту: $$h = 18 \cdot \frac{1}{7} = \frac{18}{7}$$ 3. Находим площадь трапеции $$S$$: Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$ $$S = \frac{7 + 63}{2} \cdot \frac{18}{7} = \frac{70}{2} \cdot \frac{18}{7} = 35 \cdot \frac{18}{7} = 5 \cdot 18 = 90$$ Ответ: 90