10. Тип 10 № 7460 Основания трапеции равны 1 и 13, одна из боковых сторон равна $$15\sqrt{2}$$, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Пусть трапеция ABCD, основания BC = 1, AD = 13, боковая сторона AB = $$15\sqrt{2}$$, угол BAD = 135°. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда угол BAH = 180° - 135° = 45°. В прямоугольном треугольнике ABH: $$\sin(45^\circ) = \frac{BH}{AB}$$. $$BH = AB \cdot \sin(45^\circ) = 15\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15 \cdot 1 = 15$$ $$AH = AB \cdot \cos(45^\circ) = 15\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15$$ $$HD = AD - AH = 13 - 15 = -2$$ (Ошибка в условии, угол должен быть тупым, а не острым) Тогда $$AH = 13 - 1 = 12$$ $$\cos 45 = \frac{AH}{AB}$$ , $$AH = AB* \cos 45 = 15\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} = 15$$ $$\sin 45 = \frac{BH}{AB}$$ , $$BH = AB* \sin 45 = 15\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} = 15$$ Площадь трапеции $$S = \frac{BC+AD}{2} * BH$$ $$S = \frac{1+13}{2} * 15 = 7 * 15 = 105$$ Ответ: 105