Тип 15 № 805 Постройте график функции y = {x²+4x+4, если x ≥ -4, -16/x, если x < -4. и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение:

1) Рассмотрим функцию y = x² + 4x + 4, если x ≥ -4. Это парабола, которую можно переписать как y = (x + 2)². Вершина параболы находится в точке (-2, 0). При x = -4, y = (-4 + 2)² = 4. Значит, на этом участке график начинается в точке (-4, 4). 2) Рассмотрим функцию y = -16/x, если x < -4. Это гипербола. При x = -4, y = -16/(-4) = 4. Значит, на этом участке график заканчивается в точке (-4, 4). 3) Анализ пересечений прямой y = m с графиком: При m < 0, прямая y = m не пересекает график. При m = 0, прямая y = 0 (ось x) касается параболы в точке (-2, 0), то есть имеет одну общую точку. При 0 < m < 4, прямая y = m пересекает параболу в двух точках. При m = 4, прямая y = 4 проходит через точку (-4, 4) и касается параболы (x+2)^2=4 в двух точках, и ветвь гиперболы подходит к этой точке, т.е. одна точка (касание параболы) и одна точка на гиперболе. Итого 2 точки. При m > 4, прямая y = m пересекает параболу в двух точках.

Ответ: m = 0, m ≥ 4