27 Тип 8 № 12097 Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 54°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 72°

Разбираемся:

1. Т.к. CM - биссектриса внешнего угла BCD, то угол BCD равен удвоенному углу MCD: \[\angle BCD = 2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ\]
2. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому: \[\angle BCA = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\]
3. Т.к. стороны AC и BC треугольника ABC равны, то треугольник ABC - равнобедренный, и углы при основании равны: \[\angle BAC = \angle ABC\]
4. Сумма углов треугольника равна 180°: \[\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ\] Заменим ∠ABC на ∠BAC, т.к. они равны: \[2 \cdot \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ\] Выразим ∠BAC: \[\angle BAC = \frac{180^\circ - \angle BCA}{2} = \frac{180^\circ - 72^\circ}{2} = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ\]

Ответ: 54°