10. Тип 16 № 311523 Точки А, В, С и Д лежат на одной окружности так, что хорды АВ и СД взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

Угол BDC является вписанным и опирается на дугу BC. Следовательно, дуга BC равна удвоенному углу BDC, то есть $$\stackrel{\frown}{BC} = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$$. Так как хорды AB и CD перпендикулярны, угол между ними равен 90°. Значит, дуги, заключенные между этими хордами, дополняют друг друга до 180°. То есть $$\stackrel{\frown}{AC} + \stackrel{\frown}{BD} = 180^\circ$$. Угол ACD также является вписанным и опирается на дугу AD. Поскольку хорды AB и CD перпендикулярны, то $$\stackrel{\frown}{AC} + \stackrel{\frown}{BD} = 180^\circ$$. Тогда $$\stackrel{\frown}{AD} = 90^\circ - \stackrel{\frown}{BC} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$$. Угол ACD равен половине дуги AD, то есть $$\angle ACD = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$$. Ответ: 20