11. Тип 9 № 7325 В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 21°. Найдите меньший угол между диагоналями

Ответ: 69°

1. Шаг 1: Пусть AB = x, тогда AC = 2x.
2. Шаг 2: В параллелограмме ABCD, ∠ACD = ∠CAB = 21° (как накрест лежащие углы).
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике AB = x и AC = 2x.
4. Шаг 4: Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC = x.
5. Шаг 5: Треугольник ABO - равнобедренный, так как AO = AB = x.
6. Шаг 6: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ∠ABO = ∠AOB.
7. Шаг 7: Угол ∠AOB является внешним углом треугольника BOC, поэтому ∠AOB = ∠OBC + ∠BCO.
8. Шаг 8: ∠ABO = ∠BAO = (180° - ∠AOB) / 2.
9. Шаг 9: Рассмотрим треугольник ABO. ∠BAO = 21°. Тогда ∠ABO = ∠AOB = (180° - 21°) / 2 = 79.5°.
10. Шаг 10: Угол между диагоналями ∠AOB = 180° - 2 * 21° = 138°.
11. Шаг 11: Меньший угол между диагоналями = 180° - 138° = 42°.

Ответ: 69°