9. Тип 8 № 12348 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, отрезок АН высота. Угол ВСА равен 35°. Найдите угол ВАН. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как стороны AB и BC равны, то треугольник ABC является равнобедренным. Следовательно, углы при основании AC равны, то есть ∠BAC = ∠BCA = 35°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике ∠AHB = 90° (так как AH - высота), а ∠BAH является искомым углом. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠BAH = 180° - ∠AHB - ∠ABH.

Чтобы найти угол ∠ABH, воспользуемся тем, что сумма углов треугольника ABC равна 180°: ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 35° - 35° = 110°.

Так как AH - высота, то она является и биссектрисой угла ∠BAC (в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой). Следовательно, ∠BAH = ∠BAC / 2.

Теперь найдем угол ∠ABH: ∠ABH = 180° - 90° - ∠BAH = 180° - 90° - 35° = 55°.

Ответ: 55°