16. Тип 9 № 8266 В треугольнике АВС угол C равен 90°, cosA = \frac{\sqrt{17}}{17}, ВС = 2. Найдите АС.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, cosA =$$\frac{\sqrt{17}}{17}$$, BC = 2. Нужно найти AC.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то есть

$$cosA = \frac{AC}{AB}$$.

Выразим AC через cosA и AB:

$$AC = AB \cdot cosA = AB \cdot \frac{\sqrt{17}}{17}$$.

Чтобы найти AC, нужно найти AB.

Рассмотрим формулу sinA:

$$sinA = \frac{BC}{AB}$$.

Выразим AB:

$$AB = \frac{BC}{sinA}$$.

Основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2A + cos^2A = 1$$.

Выразим sinA:

$$sinA = \sqrt{1 - cos^2A} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{17}}{17})^2} = \sqrt{1 - \frac{17}{289}} = \sqrt{\frac{289 - 17}{289}} = \sqrt{\frac{272}{289}} = \frac{\sqrt{272}}{17} = \frac{\sqrt{16 \cdot 17}}{17} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$$.

Подставим sinA в формулу для AB:

$$AB = \frac{BC}{sinA} = \frac{2}{\frac{4\sqrt{17}}{17}} = \frac{2 \cdot 17}{4\sqrt{17}} = \frac{17}{2\sqrt{17}} = \frac{17\sqrt{17}}{2 \cdot 17} = \frac{\sqrt{17}}{2}$$.

Подставим AB в формулу для AC:

$$AC = AB \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{17}{2 \cdot 17} = \frac{1}{2} = 0.5$$.

Ответ: 0.5