18 Тип 1 № 27273 В треугольнике АВС угол С равен 90°, BC = 8, cosA = 0,5. Найдите СН.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, и высота CH проведена к гипотенузе AB, можно найти CH, используя соотношения между сторонами и углами.

Дано: BC = 8, cos A = 0.5

Найти: CH

• В прямоугольном треугольнике ABC:$$cos A = \frac{AC}{AB}$$
• Выразим AC:$$AC = AB \cdot cos A = 0,5 \cdot AB$$
• По теореме Пифагора:$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
• Подставим AC:$$AB^2 = (0.5 \cdot AB)^2 + 8^2$$
• Раскроем скобки:$$AB^2 = 0.25 \cdot AB^2 + 64$$
• Перенесем члены с AB в одну сторону:$$AB^2 - 0.25 \cdot AB^2 = 64$$
• Вынесем AB^2 за скобки:$$0.75 \cdot AB^2 = 64$$
• Разделим обе части на 0.75:$$AB^2 = \frac{64}{0.75} = \frac{64}{\frac{3}{4}} = \frac{64 \cdot 4}{3} = \frac{256}{3}$$
• Найдем AB:$$AB = \sqrt{\frac{256}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16 \sqrt{3}}{3}$$
• Найдем AC:$$AC = 0.5 \cdot AB = 0.5 \cdot \frac{16 \sqrt{3}}{3} = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$$
• Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:
  • $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$$
  • $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$
• Приравняем оба выражения площади:$$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$
• Упростим:$$AC \cdot BC = AB \cdot CH$$
• Выразим CH:$$CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}$$ Подставим значения:$$CH = \frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot 8}{\frac{16 \sqrt{3}}{3}} = \frac{8 \sqrt{3} \cdot 8 \cdot 3}{3 \cdot 16 \sqrt{3}} = \frac{64 \sqrt{3}}{16 \sqrt{3}} = 4$$

Ответ: 4