19 Тип 1 № 27280 В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, AC = 3, cosA = \frac{1}{6}. Найдите BH.

В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, проведенная к гипотенузе AB, является средним пропорциональным отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу. То есть $$CH^2 = AH \cdot BH$$.

В прямоугольном треугольнике ABC катет BC равен гипотенузе AB, умноженной на косинус угла B, противолежащего этому катету: $$BC = AB \cdot cosB$$.

Косинус угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB: $$cosA = \frac{AC}{AB}$$.

Рассмотрим решение задачи:

• В прямоугольном треугольнике ABC, косинус угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB:$$cos A = \frac{AC}{AB}$$.
• Выразим AB: $$AB = \frac{AC}{cos A} = \frac{3}{\frac{1}{6}} = 3 \cdot 6 = 18$$.
• По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$, следовательно, $$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 18^2 - 3^2 = 324 - 9 = 315$$.
• Тогда $$BC = \sqrt{315} = \sqrt{9 \cdot 35} = 3 \sqrt{35}$$.
• В прямоугольном треугольнике ABC, косинус угла B равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB: $$cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3 \sqrt{35}}{18} = \frac{\sqrt{35}}{6}$$.
• В прямоугольном треугольнике BHC, косинус угла B равен отношению прилежащего катета BH к гипотенузе BC: $$cos B = \frac{BH}{BC}$$.
• Тогда $$BH = BC \cdot cos B = 3 \sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{3 \cdot 35}{6} = \frac{35}{2} = 17,5$$.

Ответ: 17,5