17 Тип 1 № 27272 В треугольнике АВС угол С равен 90°, CH – высота, BC = 5, cosA = \frac{7}{25}. Найдите BH.

В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, проведенная к гипотенузе AB, является средним пропорциональным отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу. То есть $$CH^2 = AH \cdot BH$$.

В прямоугольном треугольнике ABC катет BC равен гипотенузе AB, умноженной на косинус угла B, противолежащего этому катету: $$BC = AB \cdot cosB$$.

Косинус угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB: $$cosA = \frac{AC}{AB}$$.

Рассмотрим решение задачи:

• В прямоугольном треугольнике ABC, косинус угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB:$$cos A = \frac{AC}{AB}$$.
• Выразим AC: $$AC = AB \cdot cos A$$.
• По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$.
• Подставим AC: $$AB^2 = (AB \cdot cos A)^2 + BC^2$$.
• Раскроем скобки: $$AB^2 = AB^2 \cdot cos^2 A + BC^2$$.
• Перенесем члены с AB в одну сторону: $$AB^2 - AB^2 \cdot cos^2 A = BC^2$$.
• Вынесем AB^2 за скобки: $$AB^2 \cdot (1 - cos^2 A) = BC^2$$.
• Вспомним основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 A + cos^2 A = 1$$, следовательно, $$1 - cos^2 A = sin^2 A$$.
• Получим: $$AB^2 \cdot sin^2 A = BC^2$$.
• Выразим AB: $$AB = \frac{BC}{sin A}$$.
• По основному тригонометрическому тождеству $$sin^2 A + cos^2 A = 1$$, $$sin A = \sqrt{1 - cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{625 - 49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$$.
• Тогда $$AB = \frac{5}{\frac{24}{25}} = \frac{5 \cdot 25}{24} = \frac{125}{24}$$.
• В прямоугольном треугольнике ABC, косинус угла A равен отношению прилежащего катета AH к гипотенузе AC: $$cos A = \frac{AH}{AC}$$.
• Тогда $$AH = AB \cdot cos A = \frac{125}{24} \cdot \frac{7}{25} = \frac{35}{24}$$.
• $$BH = AB - AH = \frac{125}{24} - \frac{35}{24} = \frac{90}{24} = \frac{15}{4} = 3,75$$.

Ответ: 3,75