Тип 15 № 14 В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABC и ADC равны соответственно 77° и 74°. Найдите угол CBD, если AB = AC = AD.

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства углов в четырехугольнике и равнобедренных треугольниках. 1. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. Значит, $$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^{\circ}$$. 2. Дано, что $$\angle ABC = 77^{\circ}$$ и $$\angle ADC = 74^{\circ}$$. 3. Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = AC. Следовательно, $$\angle ABC = \angle ACB = 77^{\circ}$$. 4. Треугольник ACD равнобедренный, так как AC = AD. Значит, $$\angle ACD = \angle ADC = 74^{\circ}$$. 5. Теперь найдем угол BCD: $$\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 77^{\circ} + 74^{\circ} = 151^{\circ}$$. 6. Найдем сумму углов BAC и CAD. $$\angle BAC + \angle CAD = 360^{\circ} - (77^{\circ} + 74^{\circ} + 151^{\circ}) = 360^{\circ} - 302^{\circ} = 58^{\circ}$$. 7. В равнобедренном треугольнике ABC, угол $$\angle BAC = 180^{\circ} - 2 * 77^{\circ} = 180^{\circ} - 154^{\circ} = 26^{\circ}$$. 8. Тогда $$\angle CAD = 58^{\circ} - 26^{\circ} = 32^{\circ}$$. 9. В равнобедренном треугольнике ACD, угол $$\angle CAD = 32^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle ACD = \angle ADC = (180^{\circ} - 32^{\circ}) / 2 = 148^{\circ} / 2 = 74^{\circ}$$. 10. Теперь найдем угол CBD. Сначала найдем угол ABD. $$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD$$ Из треугольника ABD: AB = AD, значит, $$\angle ABD = \angle ADB$$. Пусть $$\angle CBD = x$$, тогда $$\angle ABD = 77^{\circ} - x$$. Сумма углов в треугольнике ABD: $$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ}$$. $$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 26^{\circ} + 32^{\circ} = 58^{\circ}$$. $$58^{\circ} + (77^{\circ} - x) + (77^{\circ} - x) = 180^{\circ}$$. $$58^{\circ} + 154^{\circ} - 2x = 180^{\circ}$$. $$212^{\circ} - 2x = 180^{\circ}$$. $$2x = 212^{\circ} - 180^{\circ}$$. $$2x = 32^{\circ}$$. $$x = 16^{\circ}$$. Ответ: 16°