18 Тип 16 № 1336 Высоты, проведенные к боковым сторонам \(AB\) и \(AC\) остроугольного равнобедренного треугольника \(ABC\), пересекаются в точке \(M\). Найдите углы треугольника, если угол \(BMC\) равен 140°.

Пусть \(AA_1\) и \(CC_1\) - высоты, опущенные на боковые стороны \(BC\) и \(AB\) соответственно. Рассмотрим четырехугольник \(ABA_1C_1\). Углы \(AA_1B\) и \(AC_1B\) равны 90 градусам, следовательно, сумма углов \(BAC\) и \(A_1BC_1\) равна 180 градусам. То есть, \(\angle BAC + \angle A_1BC_1 = 180^{\circ}\). Так как \(\angle BMC = 140^{\circ}\), то \(\angle AMC = 360^{\circ} - 140^{\circ} = 220^{\circ}\). \(\angle A_1MC_1 = 360^{\circ} - 140^{\circ} = 220^{\circ}\). \(\angle A_1MC_1 = 360^{\circ} - (90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle B) = 360^{\circ} - 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - \angle B\). В треугольнике \(BMC\) угол \(\angle B = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}\). Тогда \(\angle BAC = 180^{\circ} - \angle A_1MC_1 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 40^{\circ}\). Так как треугольник равнобедренный, то \(\angle ABC = \angle ACB\). \(\angle BAC = x\), \(\angle ABC = \angle ACB = y\). Тогда, \(x + 2y = 180^{\circ}\). Так как \(\angle BMC = 140^{\circ}\) по условию задачи, значит \(\angle BAC = 40^{\circ}\). \(40 + 2y = 180\) \(2y = 140\) \(y = 70\) Углы треугольника равны 40°, 70° и 70°. **Ответ: 40°, 70°, 70°**