Тип 16. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 138°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник *ABCD* вписан в окружность. \(\angle ABC = 138^\circ\), \(\angle CAD = 83^\circ\). Нужно найти \(\angle ABD\).

\(\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ\) (так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусам).

\(\angle ACD = \angle CAD = 83^\circ\) (так как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны).

\(\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD\).

Рассмотрим треугольник *ACD*: \(\angle ACD + \angle CAD + \angle ADC = 180^\circ\), откуда \(\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 83^\circ - 42^\circ = 55^\circ\).

\(\angle BAC = \angle BDC\) как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу *BC*.

\(\angle ABD = \angle ACD = 55^\circ\) (так как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу *AD*, равны).

Следовательно, \(\angle ABD = 55^\circ\).