Тип 15. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 72 и AD = 126, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.

Рассмотрим прямоугольник *ABCD*. Дано: *AB = 72*, *AD = 126*, \(\angle EAB = 45^\circ\). Найти *ED*.

Так как *ABCD* - прямоугольник, то \(\angle ABC = 90^\circ\). Значит, треугольник *ABE* - прямоугольный.

В треугольнике *ABE*: \(\angle AEB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Следовательно, треугольник *ABE* - равнобедренный, и *BE = AB = 72*.

Тогда *EC = BC - BE = AD - BE = 126 - 72 = 54*.

Рассмотрим треугольник *EDC*: \(\angle ECD = 90^\circ\), *EC = 54*, *DC = AB = 72*.

По теореме Пифагора:

$$ED = \sqrt{EC^2 + DC^2} = \sqrt{54^2 + 72^2} = \sqrt{2916 + 5184} = \sqrt{8100} = 90$$