15 Тип 15 і B A M Нешуогэ.ре В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 15 и ВС = ВМ. Найдите АН. Ответ:

План решения:

1. В прямоугольном треугольнике ВНС катет ВС равен гипотенузе ВМ. Следовательно, угол ВСН равен 30°.
2. Угол А равен углу ВАС, который равен углу ВСМ. Так как угол ВСН равен 30°, то угол А равен 30°.
3. Треугольник АВН – прямоугольный, угол А равен 30°. Катет ВН лежит против угла 30°, следовательно, гипотенуза АВ в два раза больше катета ВН.
4. Пусть АН = х, тогда АВ = 2х. По теореме Пифагора выразим ВН через АН:

$$AH^2 + BH^2 = AB^2$$; $$BH^2 = (2x)^2 - x^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2$$ $$BH = x\sqrt{3}$$

5. По свойству медианы ВМ = МС, т.к. ВС = ВМ, то ВС = МС.
6. Т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны, то углы В и М в треугольнике ВМС равны углу С и равны 30°.
7. По теореме о сумме углов в треугольнике угол ВМС равен:

$$180° - 30° - 30° = 120°$$

8. Угол АМВ смежный с углом ВМС, следовательно, угол АМВ равен:

$$180° - 120° = 60°$$

9. В прямоугольном треугольнике АВН:

$$tg A = \frac{BH}{AH}$$

10. Т.к. угол А равен 30°, то:

$$tg 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

11. Подставим полученные значения в формулу:

$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{BH}{AH}$$

12. Подставим в формулу значение ВН, выраженное через АН:

$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x\sqrt{3}}{x}$$ $$AH = \frac{AC}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$$

Ответ: 7,5