17. Тип 17 № i Найдите значение выражения \(\sqrt{4\sqrt{5}+9}-\sqrt{5}\).

Пробуем упростить выражение с корнями!

Выглядит сложно, но мы справимся. Упростим это выражение, чтобы найти его значение.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим выражение под первым корнем: \(4\sqrt{5} + 9\). Попробуем представить его в виде квадрата суммы: \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

2. Пусть \(a^2 + b^2 = 9\) и \(2ab = 4\sqrt{5}\), тогда \(ab = 2\sqrt{5}\). Если \(a = 2\) и \(b = \sqrt{5}\), то \[a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9\]

3. Значит, \[4\sqrt{5} + 9 = (2 + \sqrt{5})^2\]

4. Тогда исходное выражение можно переписать как: \[\sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} - \sqrt{5} = |2 + \sqrt{5}| - \sqrt{5}\]

5. Поскольку \(2 + \sqrt{5} > 0\), то \[|2 + \sqrt{5}| = 2 + \sqrt{5}\]

6. Следовательно, \[2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\]

Ответ: 2