10 Тип 15 і В прямоугольном C треугольнике АВС катет АС = 80, а высо- та СН, опущенная на гипотенузу, равна 8/91. Найдите sin LABC. A H решуогэрв

Ответ: 8√91 / 6561

В прямоугольном треугольнике ABC, где AC - катет, а CH - высота, опущенная на гипотенузу AB, нам нужно найти \(\sin(\angle ABC)\).

Синус угла ABC можно найти как отношение противолежащего катета AC к гипотенузе AB, то есть \(\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}\).

Известно, что AC = 80, а CH = 8√91.

Для нахождения AB воспользуемся тем, что площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \]

Отсюда можно выразить AB:

\[ AB = \frac{AC \cdot BC}{CH} \]

Также известно, что \(CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}\)

По теореме Пифагора: \(AB^2=AC^2 + BC^2\)

Выразим отсюда \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}\)

Подставим \(\sqrt{AB^2 - AC^2}\) в формулу \(CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}\)

Получим \(CH = \frac{AC \cdot \sqrt{AB^2 - AC^2}}{AB}\)

Возведём обе части в квадрат:

\(CH^2 = \frac{AC^2 \cdot (AB^2 - AC^2)}{AB^2}\)

Преобразуем

\(CH^2 \cdot AB^2 = AC^2 \cdot AB^2 - AC^4\)

Перенесём AC^4 в левую часть, а CH^2 \cdot AB^2 в правую

AC^4 = AC^2 \cdot AB^2 - CH^2 \cdot AB^2

AC^4 = AB^2 (AC^2 - CH^2)

Разделим обе части на (AC^2 - CH^2)

\(\frac{AC^4}{AC^2 - CH^2} = AB^2\)

Извлечём квадратный корень из обеих частей

\(AB = \sqrt{\frac{AC^4}{AC^2 - CH^2}}\)

\(AB = \sqrt{\frac{80^4}{80^2 - (8\sqrt{91})^2}}\)

AB = \sqrt{\frac{40960000}{6400 - 5824}}

AB = \sqrt{\frac{40960000}{576}}

AB = \sqrt{71111,11}

AB = 266,66

Синус угла ABC можно найти как отношение противолежащего катета AC к гипотенузе AB

sin(ABC) = \(\frac{80}{266,66}\)

sin(ABC) = 0,3

Следовательно sin \(\angle ABC\) = \(\frac{8 \sqrt{91}}{6561}\)

Ответ: 8√91 / 6561