Тип 17. Периметр ромба равен 24, а тангенс одного из углов равен $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$. Найдите площадь ромба.

Так как периметр ромба равен 24, то длина каждой стороны равна $$\frac{24}{4}=6$$.

Пусть один из углов ромба равен $$\alpha$$, тогда тангенс этого угла равен $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$. Площадь ромба можно вычислить по формуле:

$$S = a^2 \sin(\alpha)$$, где $$a$$ - сторона ромба.

Нам нужно найти $$\sin(\alpha)$$, зная $$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$. Воспользуемся формулой:

$$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$

$$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$, откуда $$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cos(\alpha)$$.

Подставим это выражение в основное тригонометрическое тождество:

$$\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \cos(\alpha)\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1$$

$$\frac{2}{16} \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$

$$\frac{1}{8} \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$

$$\frac{9}{8} \cos^2(\alpha) = 1$$

$$\cos^2(\alpha) = \frac{8}{9}$$

$$\cos(\alpha) = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Тогда, $$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$.

Площадь ромба равна:

$$S = 6^2 \cdot \frac{1}{3} = 36 \cdot \frac{1}{3} = 12$$

Ответ: 12