Тип 15 № 353286. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 166°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как \(AB\parallel CD\), угол между прямыми \(AC\) и \(AB\) равен \(180°-166°=14°\). Обозначим длину \(AB\) через \(a\). Тогда \(AC=2a\).

Рассмотрим диагональ \(BD\). Векторно её направление задаётся разностью векторов \(AC-2AB\). Относительно направления \(AC\) его составляющие пропорциональны \(2a(1-\cos14°)\) и \(-2a\sin14°\). Поэтому острый угол \(\varphi\) между диагоналями удовлетворяет:

\(\tan\varphi=\dfrac{\sin14°}{1-\cos14°}=\cot7°=\tan83°\).

Следовательно, \(\varphi=83°\).

Ответ: 83°.