Тип 3 № 4963. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра равны \(\frac{2}{\pi}\). Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Высота описанного цилиндра равна высоте прямой призмы: \(h=\frac{2}{\pi}\).

Основание цилиндра описано около прямоугольного треугольника. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора гипотенуза равна \(\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\), поэтому \(r=\frac{\sqrt{17}}{2}\).

Тогда объём цилиндра:

\(V=\pi r^2h=\pi\cdot\frac{17}{4}\cdot\frac{2}{\pi}=\frac{17}{2}.\)

Ответ: \(\frac{17}{2}\).