22. Тип Д35 СЗ № 339866 i Прямая у = 2х + b касается окружности х²+ y² = 5 в точке с положительной абсциссой. Определите коорди- наты точки касания.

Шаг 1: Запишем уравнение окружности и прямой

• Окружность: \(x^2 + y^2 = 5\)
• Прямая: \(y = 2x + b\)

Шаг 2: Подставим уравнение прямой в уравнение окружности: \[x^2 + (2x + b)^2 = 5\] \[x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 = 5\] \[5x^2 + 4bx + (b^2 - 5) = 0\] Шаг 3: Условие касания: дискриминант равен нулю \[D = (4b)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (b^2 - 5) = 0\] \[16b^2 - 20b^2 + 100 = 0\] \[-4b^2 = -100\] \[b^2 = 25\] \[b = \pm 5\] Шаг 4: Найдем x для каждого значения b:

Вычисление координат x

Для \(b = 5\): \[5x^2 + 4(5)x + (5^2 - 5) = 0\] \[5x^2 + 20x + 20 = 0\] \[x^2 + 4x + 4 = 0\] \[(x + 2)^2 = 0\] \[x = -2\] Для \(b = -5\): \[5x^2 + 4(-5)x + ((-5)^2 - 5) = 0\] \[5x^2 - 20x + 20 = 0\] \[x^2 - 4x + 4 = 0\] \[(x - 2)^2 = 0\] \[x = 2\]

Шаг 5: Выберем точку с положительной абсциссой Так как нужна точка с положительной абсциссой, то \(x = 2\), при \(b = -5\). Шаг 6: Найдем y: \[y = 2x + b = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1\]

Ответ: (2; -1)