9. Тип 8 Найдите значение выражения \(\frac{x^2}{x^2-3xy}\) при х = 5+3√6, y=2-√6.

Найдем значение выражения \(\frac{x^2}{x^2-3xy}\) при х = 5+3√6, y=2-√6.

Преобразуем выражение:

\(\frac{x^2}{x^2-3xy} = \frac{x^2}{x(x-3y)} = \frac{x}{x-3y}\)

Подставим значения x и y:

\(\frac{5+3\sqrt{6}}{5+3\sqrt{6}-3(2-\sqrt{6})} = \frac{5+3\sqrt{6}}{5+3\sqrt{6}-6+3\sqrt{6}} = \frac{5+3\sqrt{6}}{-1+6\sqrt{6}}\\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \((-1-6\sqrt{6})\):

\(\frac{(5+3\sqrt{6})(-1-6\sqrt{6})}{(-1+6\sqrt{6})(-1-6\sqrt{6})} = \frac{-5-30\sqrt{6}-3\sqrt{6}-108}{1-36 \cdot 6} = \frac{-113-33\sqrt{6}}{1-216} = \frac{-113-33\sqrt{6}}{-215} = \frac{113+33\sqrt{6}}{215}\)

Далее упростить нельзя.

Возможно, в условии есть опечатка. Проверим выражение \(\frac{x^2}{x^2-3xy+2y^2}\)

\(\frac{x^2}{x^2-3xy+2y^2} = \frac{x^2}{(x-y)(x-2y)}\)

Тогда:

\(\frac{(5+3\sqrt{6})^2}{(5+3\sqrt{6}-(2-\sqrt{6}))(5+3\sqrt{6}-2(2-\sqrt{6}))} = \frac{(5+3\sqrt{6})^2}{(3+4\sqrt{6})(1+5\sqrt{6})} = \frac{25+30\sqrt{6}+54}{3+15\sqrt{6}+4\sqrt{6}+120} = \frac{79+30\sqrt{6}}{123+19\sqrt{6}}\\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \((123-19\sqrt{6})\):

\(\frac{(79+30\sqrt{6})(123-19\sqrt{6})}{(123+19\sqrt{6})(123-19\sqrt{6})} = \frac{9717 - 1501\sqrt{6} + 3690\sqrt{6} - 3420}{15129 - 2166} = \frac{6297 + 2189\sqrt{6}}{12963} = \frac{2099+729.66\sqrt{6}}{4321}\\)

Но в условии дано выражение \(\frac{x^2}{x^2-3xy}\), поэтому:

Ответ: \(\frac{113+33\sqrt{6}}{215}\)