7. Тип 15 Площадь прямоугольного треугольника равна \(32\sqrt{3}\). Один из острых углов равен \(30^\circ\). Найдите длину гипотенузы.

Решение: Пусть \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, а \(\alpha\) - угол между катетом \(a\) и гипотенузой. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2}ab\] Также известно, что \(\sin{\alpha} = \frac{b}{c}\) и \(\cos{\alpha} = \frac{a}{c}\), где \(c\) - гипотенуза. Отсюда \(a = c \cos{\alpha}\) и \(b = c \sin{\alpha}\). Подставим это в формулу площади: \[S = \frac{1}{2} (c \cos{\alpha}) (c \sin{\alpha}) = \frac{1}{2}c^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}\] Нам дано \(S = 32\sqrt{3}\) и \(\alpha = 30^\circ\). Тогда \(\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}\) и \(\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим эти значения в формулу: \[32\sqrt{3} = \frac{1}{2}c^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[32\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2\] \[c^2 = \frac{32\sqrt{3} \cdot 8}{\sqrt{3}} = 32 \cdot 8 = 256\] \[c = \sqrt{256} = 16\] Ответ: 16