Тип 17. В трапеции ABCD известно, что AD = 6, BC = 2, а ее площадь равна 32. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.

Для начала найдем высоту трапеции ABCD. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h\] Подставим известные значения: \[32 = \frac{2 + 6}{2} \cdot h\] \[32 = \frac{8}{2} \cdot h\] \[32 = 4 \cdot h\] \[h = \frac{32}{4} = 8\] Высота трапеции ABCD равна 8. Теперь найдем среднюю линию MN трапеции ABCD: \[MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Средняя линия MN равна 4. Теперь найдем высоту трапеции BCNM. Так как MN – средняя линия трапеции ABCD, то высота трапеции BCNM равна половине высоты трапеции ABCD: \[h_{BCNM} = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Высота трапеции BCNM равна 4. Теперь найдем площадь трапеции BCNM: \[S_{BCNM} = \frac{BC + MN}{2} \cdot h_{BCNM} = \frac{2 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{6}{2} \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12\] Ответ: 12