18. Точка \(O\) равноудалена от всех сторон треугольника. Под каким углом из точки \(O\) видна самая длинная сторона треугольника, если его углы равны 22°, 76° и 82°?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, который равен 82°.
2. Шаг 2: Точка \(O\) является центром вписанной окружности, и она находится на пересечении биссектрис углов треугольника.
3. Шаг 3: Угол между биссектрисами, выходящими из двух вершин, равен \(90^\circ + \frac{\gamma}{2}\), где \(\gamma\) — угол, лежащий напротив стороны, которую мы рассматриваем. В нашем случае, \(\gamma = 82^\circ\).
4. Шаг 4: Тогда угол, под которым из точки \(O\) видна самая длинная сторона, равен \(90^\circ + \frac{82^\circ}{2} = 90^\circ + 41^\circ = 131^\circ\).

Ответ: 131°