Решение:

Обозначим коэффициент пропорциональности за $$x$$. Тогда $$AC = 2x$$ и $$BC = 9x$$. Следовательно, $$AB = AC + BC = 2x + 9x = 11x$$.

Поскольку прямые $$BB_1$$ и $$CC_1$$ параллельны, то треугольники $$ACC_1$$ и $$ABB_1$$ подобны по двум углам (угол $$A$$ - общий, а углы при параллельных прямых $$BB_1$$ и $$CC_1$$ и секущей $$AB$$ равны).

Из подобия треугольников следует пропорция: $$\frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1}$$.

Подставим известные значения: $$\frac{2x}{11x} = \frac{CC_1}{9}$$.

Сократим $$x$$ в левой части: $$\frac{2}{11} = \frac{CC_1}{9}$$.

Теперь найдем длину отрезка $$CC_1$$: $$CC_1 = \frac{2}{11} \cdot 9 = \frac{18}{11}$$.

Ответ: Длина отрезка $$CC_1 = \frac{18}{11}$$.