3. Точка D является серединой стороны АВ, точка E – середина стороны ВС треугольника АВС. Извест- но, что AD – CЕ. Докажите, что треугольники BDC и ВЕА равны.

3. Рассмотрим треугольник ABC, в котором D - середина AB, E - середина BC, AD = CE.

Необходимо доказать, что треугольники BDC и BEA равны.

Т.к. D - середина AB, то BD = $$\frac{1}{2}$$AB, значит, AB = 2BD.

Т.к. E - середина BC, то BE = $$\frac{1}{2}$$BC, значит, BC = 2BE.

AD = CE (по условию).

Рассмотрим треугольники ADC и AEC. У них AC - общая сторона, AD = CE (по условию), CD = AE (т.к. BD = BE, а AD = CE).

Значит, треугольники ADC и AEC равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Следовательно, ∠DAC = ∠ECA.

Тогда ∠BAC = ∠BCA (т.к. ∠DAC = ∠ECA).

Значит, треугольник ABC - равнобедренный с основанием BC.

Следовательно, AB = BC.

Рассмотрим треугольники BDC и BEA. У них BD = BE (т.к. $$\frac{1}{2}$$AB = $$\frac{1}{2}$$BC), ∠DBC = ∠EBA (т.к. треугольник ABC - равнобедренный), BC = AB (т.к. треугольник ABC - равнобедренный).

Значит, треугольники BDC и BEA равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.