Точка \(E\) — середина боковой стороны \(AB\) трапеции \(ABCD\). Докажите, что площадь треугольника \(ECD\) равна половине площади трапеции.

Пусть основания трапеции — \(AD\) и \(BC\), а её высота равна \(h\). Выберем координаты: \(A=(0,h)\), \(D=(a,h)\), \(B=(u,0)\), \(C=(u+b,0)\). Тогда \(AD=a\), \(BC=b\), а площадь трапеции равна \(\frac{(a+b)h}{2}\).

Так как \(E\) — середина \(AB\), его координаты \(E=(u/2,h/2)\). Площадь треугольника \(ECD\), вычисленная по координатам вершин, равна

\[S_{ECD}=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}a-u-b & h\\-u/2-b & h/2\end{pmatrix}\right|=\frac{(a+b)h}{4}.\]

Следовательно, \(S_{ECD}=\frac12\cdot\frac{(a+b)h}{2}=\frac12S_{ABCD}\). Утверждение доказано.