Решение задачи 1

a) Выразим вектор $$\overrightarrow{KM}$$ через векторы $$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{q} = \overrightarrow{AD}$$.

Так как $$AK = KB$$, то $$\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{p}$$.

Так как $$CM : MD = 2 : 5$$, то $$CM = \frac{2}{7} CD$$. Тогда $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{q} - \frac{5}{7} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{q} - \frac{5}{7} \overrightarrow{p}$$.

Тогда $$\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AK} = (\overrightarrow{q} - \frac{5}{7} \overrightarrow{p}) - \frac{1}{2} \overrightarrow{p} = \overrightarrow{q} - \frac{5}{7} \overrightarrow{p} - \frac{1}{2} \overrightarrow{p} = \overrightarrow{q} - (\frac{5}{7} + \frac{1}{2}) \overrightarrow{p} = \overrightarrow{q} - (\frac{10}{14} + \frac{7}{14}) \overrightarrow{p} = \overrightarrow{q} - \frac{17}{14} \overrightarrow{p}$$.

Ответ: $$\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{q} - \frac{17}{14} \overrightarrow{p}$$.

б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство $$\overrightarrow{KM} = x \cdot \overrightarrow{CB}$$?

Так как $$\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{q}$$, то $$\overrightarrow{KM} = -x \overrightarrow{q}$$.

Из пункта а) мы знаем, что $$\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{q} - \frac{17}{14} \overrightarrow{p}$$.

Приравниваем два выражения для $$\overrightarrow{KM}$$: $$\overrightarrow{q} - \frac{17}{14} \overrightarrow{p} = -x \overrightarrow{q}$$.

Получаем $$\overrightarrow{q} + x \overrightarrow{q} = \frac{17}{14} \overrightarrow{p}$$, то есть $$(1+x) \overrightarrow{q} = \frac{17}{14} \overrightarrow{p}$$.

Так как векторы $$\overrightarrow{p}$$ и $$\overrightarrow{q}$$ неколлинеарны (потому что ABCD - параллелограмм, а не просто отрезок), то равенство возможно только в случае, если $$1+x = 0$$ и $$\frac{17}{14} = 0$$, что невозможно.

Ответ: Нет, равенство $$\overrightarrow{KM} = x \cdot \overrightarrow{CB}$$ не может выполняться ни при каком значении x.