Точка K лежит на стороне BC треугольника ABC; точка D — на стороне AC, при этом BK : KC = 2 : 1 и AD : DC = 1 : 3. Отрезки AK и BD пересекаются в точке O. Чему равно отношение BO : OD и AO : OK?

Выберем координаты: B = (0, 0), C = (1, 0), A = (0, 1). Тогда из BK : KC = 2 : 1 получаем K = (2/3, 0), а из AD : DC = 1 : 3 получаем D = (1/4, 3/4).

Точка O лежит на BD, поэтому O = B + t(D − B) = (t/4, 3t/4). Также O лежит на AK; точки этой прямой задаются выражением A + s(K − A) = (2s/3, 1 − s). Приравнивая координаты, получаем t/4 = 2s/3 и 3t/4 = 1 − s. Отсюда t = 8/9 и s = 1/3.

Параметр t показывает, что BO/BD = 8/9, следовательно, BO:OD = 8:1. Параметр s показывает, что AO/AK = 1/3, следовательно, AO:OK = 1:2.

Ответ: BO:OD = 8:1; AO:OK = 1:2.