Точка K — середина стороны BC параллелограмма ABCD, точка M — середина стороны AD. Докажите, что четырёхугольник AKCM — параллелограмм.

Так как ABCD — параллелограмм, то \(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\), а также \(BC\parallel AD\) и \(BC=AD\).

K — середина BC, поэтому \(BK=KC=\frac{BC}{2}\). M — середина AD, поэтому \(AM=MD=\frac{AD}{2}\).

1. Так как \(BC\parallel AD\), то отрезки KC и AM параллельны: \(KC\parallel AM\).
2. Поскольку \(BC=AD\), их половины равны: \(KC=AM\).
3. Рассмотрим отрезки AK и CM. Вектор \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}\), а \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DM}\). При этом \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), а \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{DM}\), поэтому \(AK\parallel CM\).

В четырёхугольнике AKCM одна пара противоположных сторон параллельна и равна: \(KC\parallel AM\) и \(KC=AM\). Следовательно, AKCM — параллелограмм.

Ответ: четырёхугольник AKCM является параллелограммом.