Точка касания окружности, вписанной в ромб, делит его сторону на отрезки 9 см и 16 см. Найдите диагонали ромба.

Пусть точка касания делит сторону на отрезки 9 см и 16 см. Тогда сторона ромба равна \(9+16=25\) см.

Из одной вершины ромба проведены равные касательные к окружности. Поэтому длины касательных от соседних вершин равны 9 см и 16 см. Если половину острого угла ромба обозначить через \(\alpha\), то эти длины равны соответственно \(r\cot\alpha\) и \(r\tan\alpha\), где \(r\) — радиус вписанной окружности. Отсюда \(\tan\alpha=\sqrt{16/9}=4/3\).

Тогда \(\cos 2\alpha=(1-\tan^2\alpha)/(1+\tan^2\alpha)=-7/25\). Для стороны \(a=25\) см диагонали удовлетворяют формулам \(d_1^2=2a^2(1+\cos 2\alpha)\) и \(d_2^2=2a^2(1-\cos 2\alpha)\). Получаем \(d_1=30\) см и \(d_2=40\) см.

Ответ: 30 см и 40 см.