758. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, один из которых на 14 см больше другого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см.

Ответ: 120 см²

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K. Пусть AK = x, тогда KB = x + 14. Радиус вписанной окружности r = 4 см.

Обозначим катеты AC = b и BC = a.

Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Обозначим точки касания окружности с катетами как M и N соответственно. Тогда:

• AM = AK = x
• BN = BK = x + 14
• CM = CN = r = 4

Следовательно, катеты равны:

• b = AC = AM + MC = x + 4
• a = BC = BN + NC = x + 14 + 4 = x + 18

Гипотенуза равна:

c = AB = AK + KB = x + x + 14 = 2x + 14

По теореме Пифагора:

a² + b² = c²

(x + 18)² + (x + 4)² = (2x + 14)²

Раскрываем скобки:

x² + 36x + 324 + x² + 8x + 16 = 4x² + 56x + 196

2x² + 44x + 340 = 4x² + 56x + 196

0 = 2x² + 12x - 144

Делим на 2:

x² + 6x - 72 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 6² - 4 * 1 * (-72) = 36 + 288 = 324

x = (-6 ± √324) / 2 = (-6 ± 18) / 2

x₁ = (-6 + 18) / 2 = 12 / 2 = 6

x₂ = (-6 - 18) / 2 = -24 / 2 = -12 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Следовательно, x = 6.

Тогда:

• a = x + 18 = 6 + 18 = 24
• b = x + 4 = 6 + 4 = 10

Площадь треугольника равна:

S = 0.5 * a * b = 0.5 * 24 * 10 = 120

Ответ: 120 см²