759. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота СМ. Площадь треугольника АСМ равна 6 см², а площадь треугольника ВСМ – 54 см². Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ: AC = 2\(\sqrt{3}\) см, BC = 6\(\sqrt{3}\) см, AB = 4\(\sqrt{3}\) см

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Высота CM проведена к гипотенузе AB. Площадь треугольника ACM равна 6 см², а площадь треугольника BCM равна 54 см².

Обозначим AM = x и BM = y.

Площадь треугольника ACM:

S_ACM = 0.5 * AM * CM = 0.5 * x * CM = 6

Площадь треугольника BCM:

S_BCM = 0.5 * BM * CM = 0.5 * y * CM = 54

Разделим второе уравнение на первое:

(0.5 * y * CM) / (0.5 * x * CM) = 54 / 6

y / x = 9

y = 9x

Треугольники ACM и CBM подобны (поскольку оба прямоугольные и имеют общий угол). Тогда:

CM / AM = BM / CM

CM² = AM * BM = x * y = x * 9x = 9x²

CM = \(\sqrt{9x^2}\) = 3x

Подставим CM в уравнение для площади ACM:

0.5 * x * 3x = 6

1. 5x² = 6

x² = 4

x = 2 (так как длина не может быть отрицательной)

Тогда:

• AM = x = 2
• BM = y = 9x = 9 * 2 = 18
• CM = 3x = 3 * 2 = 6

Теперь найдем стороны треугольника ABC:

AC = \(\sqrt{AM^2 + CM^2}\) = \(\sqrt{2^2 + 6^2}\) = \(\sqrt{4 + 36}\) = \(\sqrt{40}\) = 2\(\sqrt{10}\)

BC = \(\sqrt{BM^2 + CM^2}\) = \(\sqrt{18^2 + 6^2}\) = \(\sqrt{324 + 36}\) = \(\sqrt{360}\) = 6\(\sqrt{10}\)

AB = AM + BM = 2 + 18 = 20

Проверим теорему Пифагора для треугольника ABC:

AC² + BC² = (2\(\sqrt{10}\))² + (6\(\sqrt{10}\))² = 40 + 360 = 400

AB² = 20² = 400

Таким образом, все верно.

Ответ: AC = 2\(\sqrt{10}\) см, BC = 6\(\sqrt{10}\) см, AB = 20 см