Точка M — середина стороны CD параллелограмма ABCD. Его высота CH пересекает отрезок AM в точке O. Найдите длину отрезка BO, если AO = a, OM = b.

Обозначим AD = d, а угол между сторонами параллелограмма зададим координатами: A = (0, 0), D = (d, 0), B = (p, h), C = (p + d, h). Тогда H = (p + d, 0), а поскольку M — середина CD, M = ((p + 2d)/2, h/2).

Пусть t = AO/AM. Так как O лежит на отрезке AM, его координаты равны tM. Кроме того, O лежит на высоте CH, поэтому его первая координата равна p + d. Отсюда t(p + 2d)/2 = p + d, то есть первая координата M равна d/(2 − t).

Обозначим AM = L. Тогда AO = tL = a, OM = (1 − t)L = b, следовательно, L = a + b и t = a/(a + b).

Разность координат точек B и O равна по горизонтали d, а по вертикали h(2 − t)/2. Поэтому BO² = d² + h²(2 − t)²/4 = (2 − t)²AM². Поскольку 0 < t < 1, получаем BO = (2 − t)AM.

Подставим t и AM: BO = (2 − a/(a + b))(a + b) = a + 2b.

Ответ: BO = a + 2b.