В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD, CH — перпендикуляр на прямую BE. Докажите, что отрезок DH равен одной из сторон параллелограмма.

Пусть E — начало координат, а u и v — векторы, задающие точки B и D. Тогда A = −v, B = u, D = v, C = u + 2v. Так как H лежит на прямой BE, можно записать H = t u.

Обозначим r = (u·v)/|u|². Из перпендикулярности CH ⟂ BE получаем (C − H)·u = 0, поэтому (1 − t)|u|² + 2u·v = 0 и t = 1 + 2r.

Теперь сравним квадраты длин:

|DH|² = |(1 + 2r)u − v|² = (1 + 2r)|u|² + |v|².

С другой стороны, |AB|² = |u + v|² = (1 + 2r)|u|² + |v|². Следовательно, DH = AB. В параллелограмме AB = CD.

Ответ: DH = AB (и, следовательно, DH = CD).