9. Точка Н является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 6, AC = 24.

Обозначим длину катета АВ за x. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника АВС имеем:

$$ BC^2 = AC^2 - AB^2 = 24^2 - x^2 $$

С другой стороны, площадь треугольника АВС можно выразить двумя способами:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH $$

Отсюда следует, что

$$ AB \cdot BC = AC \cdot BH $$

Выразим BH через AH и CH. Так как H - основание высоты, то AH + HC = AC, следовательно, HC = AC - AH = 24 - 6 = 18.

Высота BH является средним геометрическим между проекциями катетов на гипотенузу:

$$ BH = \sqrt{AH \cdot HC} = \sqrt{6 \cdot 18} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} $$

Подставим в уравнение площади:

$$ x \cdot \sqrt{24^2 - x^2} = 24 \cdot 6\sqrt{3} $$ $$ x \cdot \sqrt{576 - x^2} = 144\sqrt{3} $$

Возведем обе части в квадрат:

$$ x^2 (576 - x^2) = 144^2 \cdot 3 = 62208 $$ $$ 576x^2 - x^4 = 62208 $$ $$ x^4 - 576x^2 + 62208 = 0 $$

Решим квадратное уравнение относительно x^2. Обозначим y = x^2:

$$ y^2 - 576y + 62208 = 0 $$

Найдем дискриминант:

$$ D = 576^2 - 4 \cdot 62208 = 331776 - 248832 = 82944 $$ $$ \sqrt{D} = 288 $$

Корни:

$$ y_1 = \frac{576 + 288}{2} = \frac{864}{2} = 432 $$ $$ y_2 = \frac{576 - 288}{2} = \frac{288}{2} = 144 $$

Тогда:

$$ x_1 = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} $$ $$ x_2 = \sqrt{144} = 12 $$

Проверим оба значения. Если АВ = 12, то

$$ BC = \sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} $$

В этом случае:

$$ 12 \cdot 12\sqrt{3} = 24 \cdot 6\sqrt{3} $$ $$ 144\sqrt{3} = 144\sqrt{3} $$

Если АВ = 12√3, то

$$ BC = \sqrt{24^2 - (12\sqrt{3})^2} = \sqrt{576 - 432} = \sqrt{144} = 12 $$

В этом случае:

$$ 12\sqrt{3} \cdot 12 = 24 \cdot 6\sqrt{3} $$ $$ 144\sqrt{3} = 144\sqrt{3} $$

Оба корня подходят, но так как катет АВ должен быть больше проекции АН, то АВ = 12√3.

Ответ: 12$$\sqrt{3}$$