10. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 12,$$\tg A = \frac{2\sqrt{10}}{3}$$. Найдите АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90° задан катет AC = 12 и тангенс угла A: tg A = (2√10)/3. Нужно найти гипотенузу AB.

Тангенс угла A - это отношение противолежащего катета BC к прилежащему AC:

$$\tg A = \frac{BC}{AC}$$

Выразим BC через AC и tg A:

$$ BC = AC \cdot \tg A = 12 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10} $$

Теперь, когда известны катеты AC и BC, можем найти гипотенузу AB по теореме Пифагора:

$$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + (8\sqrt{10})^2} = \sqrt{144 + 64 \cdot 10} = \sqrt{144 + 640} = \sqrt{784} = 28 $$

Ответ: 28