Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла D прямоугольного треугольника ABC, в котором AD = 5, AC = 15. Найдите AB.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По условию, DH — высота, значит, \( ∠ DHA = 90^\circ \).
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике ADC, по теореме Пифагора, найдем высоту DH:
   \( AD^2 = AH × AC \).
   Нам известно, что AD = 5 и AC = 15.
   \( 5^2 = AH × 15 \)
   \( 25 = AH × 15 \)
   \( AH = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} \).
3. Шаг 3: Теперь найдем отрезок HC:
   \( HC = AC - AH = 15 - \frac{5}{3} = \frac{45-5}{3} = \frac{40}{3} \).
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике DHC, по теореме Пифагора, найдем высоту DH:
   \( DH^2 = AD^2 - AH^2 = 5^2 - (\frac{5}{3})^2 = 25 - \frac{25}{9} = \frac{225-25}{9} = \frac{200}{9} \)
   \( DH = \frac{\sqrt{200}}{3} = \frac{10\sqrt{2}}{3} \).
5. Шаг 5: В прямоугольном треугольнике ADB, по теореме Пифагора, найдем AB:
   \( AB^2 = AD^2 + DH^2 \)
   \( AB^2 = 5^2 + (\frac{10\sqrt{2}}{3})^2 \)
   \( AB^2 = 25 + \frac{200}{9} = \frac{225+200}{9} = \frac{425}{9} \)
   \( AB = \frac{\sqrt{425}}{3} = \frac{5\sqrt{17}}{3} \).
6. Шаг 6: Также можно использовать свойство высоты прямоугольного треугольника: \( AB^2 = AH × AC \).
   \( AB^2 = \frac{5}{3} × 15 \)
   \( AB^2 = 25 \)
   \( AB = 5 \).

Ответ: 5