15. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C таким образом, что OABC – ромб (см. рис. 261). Найдите угол ABC.

Поскольку $$OABC$$ - ромб, все его стороны равны: $$OA = AB = BC = CO$$. Так как $$OA$$ и $$OC$$ - радиусы окружности, то $$OA = OC = R$$, где $$R$$ - радиус окружности. Следовательно, $$OA = AB = BC = CO = R$$. Рассмотрим треугольник $$OAB$$. Так как $$OA = AB = R$$, этот треугольник равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть $$\angle AOB = \angle ABO$$. Также рассмотрим треугольник $$BOC$$. Так как $$BO = BC = R$$, этот треугольник тоже равнобедренный, и $$\angle BOC = \angle BCO$$. В ромбе противоположные углы равны, то есть $$\angle AOC = \angle ABC$$. Угол $$\angle AOC$$ является центральным углом, опирающимся на дугу $$AC$$. Поскольку $$OABC$$ - ромб, то $$\angle AOC = \angle ABC$$. Так как $$OABC$$ ромб, $$\angle OAB = \angle OCB$$, $$\angle AOB = \angle ABC$$. Сумма углов в ромбе равна 360 градусам, а противоположные углы равны, значит: $$2 \cdot \angle AOC + 2 \cdot \angle OAB = 360^\circ$$ $$\angle AOC + \angle OAB = 180^\circ$$ Так как $$OABC$$ - ромб, $$OA = AB = BC = OC$$. Значит, $$\triangle OAB$$ и $$\triangle OBC$$ – равнобедренные, и $$\angle AOB = \angle OBA$$ и $$\angle BOC = \angle OBC$$. Так как $$OA = AB = BC = CO$$, а точка O является центром окружности, следовательно ромб состоит из двух равносторонних треугольников с углом 60 градусов. $$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$$ Ответ: Угол $$ABC$$ равен **120** градусам.