Решение задачи 1

a) Пусть ABCD - параллелограмм, O - середина AB, CP : PD = 3 : 6 = 1 : 2. Выразим вектор $$\vec{OP}$$ через векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$:

$$\vec{OP} = \vec{OC} + \vec{CP}$$

$$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AD} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}$$

$$\vec{CP} = \frac{1}{3}\vec{CD} = \frac{1}{3}\vec{AB}$$

Тогда

$$\vec{OP} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{3}\vec{AB} = (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3})\vec{AB} + \vec{AD} = -\frac{1}{6}\vec{AB} + \vec{AD} = -\frac{1}{6}\vec{u} + \vec{w}$$

Ответ: $$\vec{OP} = -\frac{1}{6}\vec{u} + \vec{w}$$

б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство $$\vec{OP} = x\vec{CB}$$?

$$\vec{OP} = x\vec{CB} = x\vec{DA} = -x\vec{AD}$$

Из пункта а) $$\vec{OP} = -\frac{1}{6}\vec{AB} + \vec{AD}$$

Получаем, что -$$\frac{1}{6}\vec{AB} + \vec{AD} = -x\vec{AD}$$

Это возможно только если $$\vec{AB} = 0$$, что невозможно, так как ABCD - параллелограмм.

Ответ: нет, не может.