16) Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 4√5. Найдите площадь квадрата ABCD

Обозначим сторону квадрата ABCD как a. Тогда OC = OD = a/2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. По теореме Пифагора:

$$AO^2 = AD^2 + OD^2$$

$$AO = 4\sqrt{5}$$

$$AD = a$$

$$OD = \frac{a}{2}$$

Подставим известные значения в теорему Пифагора:

$$(4\sqrt{5})^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2$$

$$16 \cdot 5 = a^2 + \frac{a^2}{4}$$

$$80 = \frac{4a^2 + a^2}{4}$$

$$80 = \frac{5a^2}{4}$$

$$5a^2 = 320$$

$$a^2 = \frac{320}{5}$$

$$a^2 = 64$$

Площадь квадрата равна $$a^2$$.

Площадь квадрата ABCD равна 64.

Ответ: 64