Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, а точки K, L, M, N — середины отрезков AD, DC, BC, AB соответственно. Докажите, что прямые KM и NL пересекаются.

Обозначим через O середину отрезка KM.

1. В треугольнике ADB точки K и N — середины сторон AD и AB. По теореме о средней линии KN ∥ DB и KN = DB/2.

2. В треугольнике DCB точки L и M — середины сторон DC и CB. Поэтому LM ∥ DB и LM = DB/2.

3. Следовательно, KN ∥ LM и KN = LM. Значит, четырёхугольник K N M L — параллелограмм: его противоположные стороны KN и LM равны и параллельны.

4. Диагонали параллелограмма KM и NL пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Что и требовалось доказать.